容斥问题是公务员考试中非常重要的考试内容之一，其中三者容斥是容斥问题中的重要部分。然而，很多同学对于三者容斥都感觉十分的棘手，今天，我们就一起重新认识容斥问题中的三者容斥问题。
一、基本公式
容斥问题主要研究集合间的交叉问题。解决容斥问题要把握一个非常重要的原则，就是无重复、无遗漏、多重变一重。例如某班级喜欢数学的有40人，喜欢语文的有36人，喜欢英语的有30人，既喜欢数学又喜欢语文的有28人，既喜欢数学又喜欢英语的有26人，既喜欢语文又喜欢英语的有24人，三门课程均喜欢的有20人，三门课程均不喜欢的有2人。该班级共有学生多少人?拿到问题之后可能同学们会感觉非常的困难，题目比较长，感觉有些混乱，我们用一张文氏图来帮助我们找到所给条件之间的关系。
I表示全集;M表示三个集合均不属于;A∩B表示既属于A又属于B;A∩C表示既属于A又属于C;B∩C表示既属于B又属于C;A∩B∩C表示三个集合均属于;
由图可知，三个集合相交部分，有单层部分，有两个集合相交部分，也有三个集合相交部分。我们要表示全集I，先把三个集合相加，相加的时候单层部分加了一次，两个集合重合部分加了两次，多计算一次，需要减掉，而三个集合重合部分加了三次，减了三次，相当于漏掉了，需要加上一次，最后在加上M部分，就可以表示出全集I，由此可得公式：
I=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C+M
题目中代入公式可得:I=40+36+30-28-26-24+20+2=50人。
二、例题
例：某校共有三个兴趣小组，分别为体育、书法和美术。已知参加这三个兴趣小组的学生分别是25人、24人、30人。同时参加体育、书法兴趣小组的有5人，同时参加体育、美术兴趣小组的有2人，同时参加书法、美术兴趣小组的有4人，有1人同时参加这三个兴趣小组，问：共有多少人参加兴趣小组?
A.74 B.72 C.70 D.69
【答案】D。解析：这道题是一道容斥问题，有三个集合分别记作集合A(体育)、集合B(书法)、集合C(美术)，可得A=25，B=24，C=30，A∩B=5，A∩C=2，B∩C=4，A∩B∩C=1，由题意可知学员均参加兴趣小组即M=0。求全班人数即全集I，先三个集合相加，两个集合交集部分多计算一次，需减掉，三个集合交集部分加了三次，减掉三次，需要在加一次，可得I=25+24+30-5-2-4+1+0，根据选项可由尾数法得5+4+0-5-2-4+1+0=9，尾数为9只有69，本题答案为D。
三、总结
在三者容斥问题当中一定要牢记核心原则，根据原则结合文氏图，理解性的记忆公式，会有助于更好的理解和运用公式。
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